Финансовые риски, управление активами, инвестиции недвижимость, инвестиционная привлекательность, прямые инвестиции

В случае, когда число дискриминантных переменных р меньше числа классов, максимальное число функций q равно р. При этом уже не происходит преобразование из пространства с большей размерностью в пространство с меньшей размерностью. Мы только делаем замену координат, удовлетворяющую некоторому критерию.

ПОЛУЧЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ КАНОНИЧЕСКОЙ ДИСКРИМИНАНТНОЙ ФУНКЦИИ

Рассмотрим основные принципы получения коэффициентов иг канонической дискриминантной функции. Полное представление математических аспектов этой проблемы не входит в нашу задачу. Оно приводится в нескольких монографиях по многомерной статистике, например в (Cooley and Lohnes, 1971). Начнем с того, что необходим некий статистический метод для измерения степени различий между объектами (наблюдениями). групповых средних и стандартных отклонений недостаточна, так как не учитывает зависимости между переменными. Однако можно воспользоваться матрицей сумм квадратов и попарных произведений Т, являющейся квадратной симметричной матрицей5. Для пояснения происхождения матрицы Т введем следующие обозначения:

g — число классов;

пк — число наблюдений в k-м классе;

п. — общее число наблюдений по всем классам;

Xikm — величина переменной I для пг-го наблюдения в k-м классе;

Xik. — средняя величина переменной i в k-м классе; Xi.. — среднее значение переменной i по всем классам (общее среднее).

Тогда элементы матрицы Т задаются соотношением

Ui= '2 2 (Xihm-Xi..)(X]hm-X}..). (2)

h=l m=l

Выражения в скобках являются отклонениями значений переменных от общего среднего. Если i—j, то сомножители равны, и получается средне-квадратичное отклонение. Таким образом, диагональные элементы представляют собой сумму квадратов отклонений от общего среднего. Они показывают, как ведут себя наблюдения по отдельной переменной. При 1Ф\ получаем сумму произведений отклонения по одной переменной на отклонение по другой. В этом состоит один из способов измерения корреляций (ковариаций) между двумя переменными, так как он показывает, насколько хорошо большое отклонение по одной переменной согласуется с большим отклонением по другой. Рассматривая целиком всю матрицу, мы имеем полную информацию о распределении точек по пространству, определяемому переменными.

Если разделить каждый элемент Т на (п.— 1), получим ковариационную матрицу. В дискриминантном анализе чаще используется непосредственно матрица Т, тем не менее в статистической литературе более распространена ковариационная матрица. Основываясь на наблюдениях, принадлежащих одному классу, можно вычислить ковариационные матрицы для него.

Степень зависимости двух переменных можно выяснить, исследуя их корреляцию. Для этого воспользуемся коэффициентом корреляции, поскольку он нормирован и принимает значения от — 1 до +1. Можно легко преобразовать матрицу Т в матрицу коэффициентов корреляции, деля каждый элемент на квадратный корень произведения двух соответствующих диагональных элементов. (Те же результаты могут быть получены из ковариационной матрицы; см. работу (Cooley and Lohnes, 1971.) В 2 представлены коэффициенты корреляции по данным Бардес.